AI (zřejmě) vyřešila jeden z nejtěžších problémů matematiky - co to znamená pro předpověď počasí?
V těchto dnech rozvířilo dění na poli matematiky oznámení o historickém matematickém průlomu, který se měl podařit OpenAI, a to zda řešení Navierových-Stokesových rovnic, které popisují proudění tekutin, jako jsou voda a vzduch, existují a jsou jednoznačná. Tuto skutečnost následně poněkud zastínilo zveřejnění výsledků řešení stejného problému matematiky Tristana Buckmastera z New York University a Leventa Alpögeho, který pracuje u společnosti Anthropic, ve stejný den jako OpenAI (viz článek). Nechme nyní stranou ještě otázku jednoznačného potvrzení získaného výsledku ze strany matematiků, ale spíše se zaměřme na podstatu zjištěného výsledku z pohledu možných důsledků pro meteorologii.
Sir George Gabriel Stokes (13. srpna 1819 –1. února 1903), zdroj: commons.wikimedia.org
Navierovy-Stokesovy rovnice možná nejsou širší veřejnosti tolik známé, v meteorologii (a nejen v ní) jsou naprosto zásadní. Jde o pohybové rovnice, které popisují proudění vazké tekutiny. Vazkost znamená, že tekutina má vnitřní odpor, který zpomaluje její pohyb (obecně vysokou má například olej, velmi nízkou vzduch). Rovnice vyjadřují skutečnost, že zrychlení individuální částice tekutiny je rovno sumě na ni působících sil. Pokud studujeme dění v atmosféře, tak těmito silami zpravidla rozumíme především sílu tlakového gradientu (určuje rychlost větru), Coriolisovu sílu (souvisí s rotací Země kolem své osy), sílu zemské tíže, případně vazké tření. Do Navierových-Stokesových rovnic se obvykle zahrnuje i rovnice kontinuity, která musí být uvažována v úplném tvaru, pokud chceme obsáhnout vlivy stlačitelnosti vzduchu, případně zákon zachování energie.
Jeden z možných zápisů Navierových-Stokesových rovnic, zdroj: grc.nasa.gov
Slavný matematický problém však nespočívá v tom, že bychom Navierovy-Stokesovy rovnice neuměli používat. Meteorologové (a vědci z dalších oblastí) je a jejich příbuzné varianty numericky řeší desítky let. Otázka, na kterou OpenAI zveřejnila odpověď, byla mnohem abstraktnější - zůstane původně hladké trojrozměrné proudění vody, na kterou působí hladká síla, za určitých podmínek hladké navždy, nebo můžou rovnice vytvořit singularitu, tedy stav, kdy některá veličina, například rychlost, začne v konečném čase růst bez omezení? A právě vznik oné singularity teď nový důkaz podle OpenAI potvrzuje. Konstruuje proudění v podobě stále více se zužujícího a protahujícího víru, který se spirálovitě stáčí dovnitř a protahuje se jako špageta. Jeho rozměry klesají, zatímco rychlosti rostou, až matematické řešení přestane být hladké. Přitom platí, že celková energie proudění zůstává konečná.
Snímek lokálně nestlačitelného pohybu. Oranžová barva značí rychlejší úhlovou rotaci, tyrkysová pomalejší rotaci. Rychlost oběhu závisí rovněž na poloměru. Trajektorie znázorňují spirálovitý pohyb směrem dovnitř a protahování podél osy., zdroj: openai.com
Vyřešení naznačeného matematického problému Navierových-Stokesových rovnic samo o sobě předpověď počasí v krátké budoucnosti samo o sobě nezlepší, pro ni totiž platí jedno důležité „ale“. Atmosféra není nestlačitelná kapalina s konstantní hustotou, kterou řeší popsaný "problém tisíciletí". Je stlačitelná, do značné míry rotuje spolu se Zemí a probíhají v ní změny skupenství vody, přenos záření a řada dalších ne zrovna jednoduchých fyzikálních procesů. Meteorologické modely proto používají podstatně složitější soustavy rovnic. Jejich tzv. dynamické jádro sice numericky řeší rovnice popisující pohyb atmosféry. Ty je ale následně nutné doplnit parametrizacemi procesů, které kvůli malé velikosti nebo krátkému trvání nedokáže modelová síť přímo zachytit.
Zjištěný matematický výsledek tedy neposkytuje „lepší řešení“, které by šlo jednoduše "vložit" do předpovědního modelu. Nemění ani hlavní zdroj omezené předpověditelnosti počasí, primárně chaotickou povahu atmosféry a nedokonalou znalost jejího počátečního stavu. Přesto může být pro numerickou meteorologii zajímavý. Ukazuje totiž zajímavou vlastnost nelineárních rovnic proudění, kdy dokonale hladký počáteční stav může za určitých okolností vytvářet struktury na stále menších prostorových měřítkách. Je to přitom právě přenos energie mezi různými měřítky, který je zásadní pro popis turbulence, jež obecně patří k nejobtížnějším otázkám při modelování atmosféry. Lepší matematické pochopení toho, jak rovnice proudění můžou vytvářet extrémně malé struktury a velmi výrazné gradienty (rozdíly), proto může časem přispět ke konstrukci stabilnějších numerických metod nebo lepšímu popisu turbulence. To nabývá na významu zejména s rostoucím rozlišením modelů, kdy se i globální modely postupně přibližují k měřítkům, kdy už musejí explicitně uvažovat tzv. nehydrostatické procesy (souvisejí s výraznými vertikálními zrychleními, například v bouřkových mracích). Současně metoda uplatněná v OpenAI, kdy na řešení pracovaly tisíce AI agentů, znamená, že by v budoucnu mohla AI pomáhat s objevováním dokonalejších matematických metod, na kterých budou předpovědní modely založeny. A tím pádem možná i určitým způsobem změnit matematiku, na které současné předpovědní modely atmosféry stojí.
Sir George Gabriel Stokes (13. srpna 1819 –1. února 1903), zdroj: commons.wikimedia.org
Navierovy-Stokesovy rovnice možná nejsou širší veřejnosti tolik známé, v meteorologii (a nejen v ní) jsou naprosto zásadní. Jde o pohybové rovnice, které popisují proudění vazké tekutiny. Vazkost znamená, že tekutina má vnitřní odpor, který zpomaluje její pohyb (obecně vysokou má například olej, velmi nízkou vzduch). Rovnice vyjadřují skutečnost, že zrychlení individuální částice tekutiny je rovno sumě na ni působících sil. Pokud studujeme dění v atmosféře, tak těmito silami zpravidla rozumíme především sílu tlakového gradientu (určuje rychlost větru), Coriolisovu sílu (souvisí s rotací Země kolem své osy), sílu zemské tíže, případně vazké tření. Do Navierových-Stokesových rovnic se obvykle zahrnuje i rovnice kontinuity, která musí být uvažována v úplném tvaru, pokud chceme obsáhnout vlivy stlačitelnosti vzduchu, případně zákon zachování energie.
Jeden z možných zápisů Navierových-Stokesových rovnic, zdroj: grc.nasa.gov
Slavný matematický problém však nespočívá v tom, že bychom Navierovy-Stokesovy rovnice neuměli používat. Meteorologové (a vědci z dalších oblastí) je a jejich příbuzné varianty numericky řeší desítky let. Otázka, na kterou OpenAI zveřejnila odpověď, byla mnohem abstraktnější - zůstane původně hladké trojrozměrné proudění vody, na kterou působí hladká síla, za určitých podmínek hladké navždy, nebo můžou rovnice vytvořit singularitu, tedy stav, kdy některá veličina, například rychlost, začne v konečném čase růst bez omezení? A právě vznik oné singularity teď nový důkaz podle OpenAI potvrzuje. Konstruuje proudění v podobě stále více se zužujícího a protahujícího víru, který se spirálovitě stáčí dovnitř a protahuje se jako špageta. Jeho rozměry klesají, zatímco rychlosti rostou, až matematické řešení přestane být hladké. Přitom platí, že celková energie proudění zůstává konečná.
Snímek lokálně nestlačitelného pohybu. Oranžová barva značí rychlejší úhlovou rotaci, tyrkysová pomalejší rotaci. Rychlost oběhu závisí rovněž na poloměru. Trajektorie znázorňují spirálovitý pohyb směrem dovnitř a protahování podél osy., zdroj: openai.com
Vyřešení naznačeného matematického problému Navierových-Stokesových rovnic samo o sobě předpověď počasí v krátké budoucnosti samo o sobě nezlepší, pro ni totiž platí jedno důležité „ale“. Atmosféra není nestlačitelná kapalina s konstantní hustotou, kterou řeší popsaný "problém tisíciletí". Je stlačitelná, do značné míry rotuje spolu se Zemí a probíhají v ní změny skupenství vody, přenos záření a řada dalších ne zrovna jednoduchých fyzikálních procesů. Meteorologické modely proto používají podstatně složitější soustavy rovnic. Jejich tzv. dynamické jádro sice numericky řeší rovnice popisující pohyb atmosféry. Ty je ale následně nutné doplnit parametrizacemi procesů, které kvůli malé velikosti nebo krátkému trvání nedokáže modelová síť přímo zachytit.
Zjištěný matematický výsledek tedy neposkytuje „lepší řešení“, které by šlo jednoduše "vložit" do předpovědního modelu. Nemění ani hlavní zdroj omezené předpověditelnosti počasí, primárně chaotickou povahu atmosféry a nedokonalou znalost jejího počátečního stavu. Přesto může být pro numerickou meteorologii zajímavý. Ukazuje totiž zajímavou vlastnost nelineárních rovnic proudění, kdy dokonale hladký počáteční stav může za určitých okolností vytvářet struktury na stále menších prostorových měřítkách. Je to přitom právě přenos energie mezi různými měřítky, který je zásadní pro popis turbulence, jež obecně patří k nejobtížnějším otázkám při modelování atmosféry. Lepší matematické pochopení toho, jak rovnice proudění můžou vytvářet extrémně malé struktury a velmi výrazné gradienty (rozdíly), proto může časem přispět ke konstrukci stabilnějších numerických metod nebo lepšímu popisu turbulence. To nabývá na významu zejména s rostoucím rozlišením modelů, kdy se i globální modely postupně přibližují k měřítkům, kdy už musejí explicitně uvažovat tzv. nehydrostatické procesy (souvisejí s výraznými vertikálními zrychleními, například v bouřkových mracích). Současně metoda uplatněná v OpenAI, kdy na řešení pracovaly tisíce AI agentů, znamená, že by v budoucnu mohla AI pomáhat s objevováním dokonalejších matematických metod, na kterých budou předpovědní modely založeny. A tím pádem možná i určitým způsobem změnit matematiku, na které současné předpovědní modely atmosféry stojí.
Encyklopedie počasí
Přečtěte si další články z naší rozsáhlé encyklopedie počasí, která shrnuje poznatky o meteorologii a počasí. Pochopíte řadu základních meteorologických prvků a způsob vytváření předpovědí počasí.
